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Das `!Sitnikov-Problem`! ist ein nach dem `F33f`_`[russischen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Russland]`_`f `F33f`_`[Mathematiker`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematiker]`_`f Kirill Alexandrowitsch Sitnikow (* 1926) benannter Spezialfall des `F33f`_`[eingeschränkten Dreikörperproblems`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eingeschränktes_Dreikörperproblem]`_`f und beschreibt die Bewegung dreier Himmelskörper unter ihrer gegenseitigen `F33f`_`[gravitativen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gravitation]`_`f Anziehung.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Bewegungsgleichung`#bewegungsgleichung]`_`f

• `F0af`_`[Bedeutung`#bedeutung]`_`f

• `F0af`_`[Natürliches Auftreten`#nat-rliches-auftreten]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Definition

Das System besteht aus 2 Primärkörpern (z. B. `F33f`_`[Sterne`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stern]`_`f) mit gleicher `F33f`_`[Masse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Masse_(Physik)]`_`f ( m 1 = m 2 = m 2 ) {\\displaystyle \\left(m_{1}=m_{2}={\\tfrac {m}{2}}\\right)} , die sich auf kreisförmigen oder elliptischen `F33f`_`[Keplerbahnen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Keplerbahn]`_`f um ihren gemeinsamen `F33f`_`[Schwerpunkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Baryzentrum]`_`f bewegen. Der dritte Körper, der wesentlich kleiner ist als die beiden Primärkörper und dessen Masse daher gleich null gesetzt werden kann ( m 3 = 0 ) {\\displaystyle (m_{3}=0)} , bewegt sich unter dem Einfluss der Primärkörper in einer Ebene, die senkrecht auf der Bahnebene der Primärkörper steht (siehe Bild 1). Der Koordinatenursprung liegt im Schwerpunkt der beiden Primärkörper. Als Einheit der Masse verwendet man die Gesamtmasse der Primärkörper ( m = 1 ) {\\displaystyle (m=1)} , als Einheit der Zeit deren Umlaufperiode um den Schwerpunkt ( 2 π π ) {\\displaystyle (2\\pi )} und als Einheit der Länge den Radius der Bahn ( a = 1 ) {\\displaystyle (a=1)} ; außerdem wird die `F33f`_`[Gravitationskonstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gravitationskonstante]`_`f gleich 1 gesetzt. In so einem System ist die Bewegung des dritten Körpers eindimensional, – er bewegt sich nur entlang der z-Achse.

>>Bewegungsgleichung

Zur Ableitung der `F33f`_`[Bewegungsgleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bewegungsgleichung]`_`f (für den Fall von kreisförmigen Bahnen der Primärkörper) bestimmt man zuerst die `F33f`_`[Gesamtenergie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Energie]`_`f E {\\displaystyle \\,E} des Systems:

E = 1 2 ( d z d t ) 2 − − 1 r {\\displaystyle E={\\frac {1}{2}}\\left({\\frac {dz}{dt}}\\right)^{2}-{\\frac {1}{r}}}

Nach der Zeit `F33f`_`[abgeleitet`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f ergibt das:

d 2 z d t 2 = − − z r 3 {\\displaystyle {\\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\\frac {z}{r^{3}}}}

Es gilt (siehe Bild 1):

r 2 = a 2 + z 2 = 1 + z 2 {\\displaystyle r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}}

Und daher folgt als Bewegungsgleichung:

d 2 z d t 2 = − − z ( 1 + z 2 ) 3 {\\displaystyle {\\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\\frac {z}{\\left({\\sqrt {1+z^{2}}}\\right)^{3}}}}

>>Bedeutung

Obwohl es extrem unwahrscheinlich ist, dass sich drei Himmelskörper auf natürliche Weise in einer Sitnikov-Konfiguration anordnen oder bilden, wird das Sitnikov-Problem seit Jahrzehnten intensiv untersucht. Denn obwohl es einen sehr einfachen Fall des `F33f`_`[Dreikörperproblems`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dreikörperproblem]`_`f darstellt, findet man im elliptischen Sitnikov-Problem trotzdem alle Eigenschaften eines `F33f`_`[chaotischen Systems`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Chaostheorie]`_`f, weshalb es sich hervorragend zu allgemeinen Untersuchungen über chaotische Effekte in dynamischen Systemen eignet.

>>Natürliches Auftreten

Die Wahrscheinlichkeit für ein solches System ist extrem gering, jedoch nicht gleich null. In Anbetracht der Größe des `F33f`_`[Universums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Universum]`_`f von ca. 2 Billionen `F33f`_`[Galaxien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Galaxie]`_`f und je Galaxie 250 Milliarden Sternensystemen, halten Wissenschaftler es für gesichert, dass auch diese extrem unwahrscheinliche Konfiguration vorkommt.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Himmelsmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Himmelsmechanik]`_`f

• `F33f`_`[Zweikörperproblem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zweikörperproblem]`_`f

• `F33f`_`[Chaosforschung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Chaosforschung]`_`f

>>Weblinks

• Störungsanalyse des Sitnikov Problems für hohe Ordnungen unter Verwendung automatisierter Herleitungsmethoden in Mathematica (Diplomarbeit)

• Florian Freistetter, Seltsame Welten: Sitnikov-Planeten

>>Literatur

• K. A. Sitnikov: `* The existence of oscillatory motions in the three-body problems.`* In: `*Doklady Akademii Nauk SSSR`*, 133/1960, S. 303–306, `F33f`_`[ISSN`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Internationale_Standardnummer_für_fortlaufende_Sammelwerke]`_`f 0002-3264 (englische Übersetzung in `*Soviet Physics. Doklady.`*, 5/1960, S. 647–650)

• K. Wodnar: `*The original Sitnikov article – new insights.`* In: `*Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy`*, 56/1993, S. 99–101, `F33f`_`[ISSN`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Internationale_Standardnummer_für_fortlaufende_Sammelwerke]`_`f 0923-2958, `F33f`_`[bibcode`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bibcode]`_`f:1993CeMDA..56...99W

• D. Hevia, F. Rañada: Chaos in the three-body problem: the Sitnikov case. In: European Journal of Physics. Band 17, 1996, `F33f`_`[ISSN`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Internationale_Standardnummer_für_fortlaufende_Sammelwerke]`_`f 0143-0807, S. 295–302, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1088/0143-0807/17/5/009.

• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, `*Chaos and Stability in Planetary Systems.`*, Springer, 2005, ISBN 3540282084

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f `*How Celestial Mechanics finally explains why winter is coming in Game of Thrones.`* S. 9, abgerufen am 24. Juli 2024.

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